noubliezpas

n'oubliez pas de parler aussi de vos oraux de math, même si vous m'envoyez par ailleurs le texte manuscrit (ce n'est pas forcement facile de taper un exo de math sans editeur approprié) !

Bon, je suis passée jeudi après-midi.
J'ai eu un exo sur les séries puis un 2e sans préparation : matrice 3.3 d'un endomorphisme f ds la base canonique, caractériser f.
À Mme Auzanneau : je ne me souviens plus bien de l'énoncé, mais je l'ai recopié sur la feuille que vous nous aviez distribuée et elle est déjà dans l'enveloppe que je m'apprêtais à vous envoyer...

exercice avec préparation :

1) montrer que la fonction abs(sin) est égale à la somme de sa série de fourier.
on supposera qu'elle est égale à f(x) = ....

2 ) montrer qu'il existe une unique fonctions solution de l'équation y''(x)+y'(x) =sin(x) tel que phi(0) = 0 et phi'(0)=1. (théorème de cauchy lipschitz )
3 a) déterminer la forme des solutions à l'aide d'une intégrale .
b) montrer que f(x) = sin(x) + intégrale de 0 a x de sin (x-t) dt
c) en utilisant la question 1, écrire la fonction f sous forme de série .

résolution:
1) théorème de Dirichlet
2 ) théorème de cauchy lipschitz
3) solution de l'équation homogène : Acos(x)+B sin(x), ensuite méthode de variation de la constante , yp=A(x)cos(x)+B(x) sin(x) ,
yp'= A'(x)cos(x)+B'(x)sinx - A(x)sin(x) +B(x)cos(x)
on posera A'(x)cos(x)+B'(x)sinx = 0
yp''=-A'(x) sin(x) +B'(x)cos(x) -A(x)cos(x)- B(x)sin(x)

yp solution de l'équation;
d'ou : -A'(x) sin(x)+B'(x)cos(x) = sin(x)

on a donc un système de cramer pour A' et B' d'ou
A'=
B'=
on intégre et on obtient A et B
et on remplace


exercice sans préparation : determination de la nature d'une matrice
(c'était une matrice dont les colonnes étaient normées, orthogonales donc (O(n))
de det (M) = 1 ( rotation )
axe (ker M-Id)
angle à derterminer avec 2cos(théta) +1 = trace(M)

question: pourquoi y a t il deux directions ?

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remarque personnel:
oral extrêmement frustrant, l'examinateur à carrément fait l'exo à ma place ( dictée ) et ne ma pas laissé parler alors que je savais quoi faire ...

Pour l'exo sans preparation : si la matrice est 3x3, orthogonale et de déterminant 1 et n'est pas la matrice identité, le noyau de M-I3 est de dimension 1 : les vecteurs invariants forment une droite vectorielle. Par contre selon qu'on oriente cette droite dans un sens ou dans l'autre, l'angle de la rotation sera alpha ou - alpha. Si tu as trouvé Ker(M-I3) de dim 2, il y aune erreur qque part : M n'est pas une matrice orthogonale ou bien elle est orthogonale de determinant -1, auquel cas avec Ker(M-I3) de dim 2, ce sera une symétrie orthogonale par rapport au plan Ker(M-I3).

Pour l'exercice avec preparation, tu es certaine du texte : le second membre de l'équa diff est sin(x) et pas abs(sin(x))? cela me parait un peu étrange. Sinon, surtout avec abs(sin(x) comme second membre, c'est bien sur la méthode de variation des constantes qui est lla plus appropriée ici.

Exercice préparé:

Soit n appartenant à N* , k un réel positif, et
Ek ={ A appartenant à Mn(R) / tAA = AtA et A^2 + k^2In =0}

1) A appartenant à Ek, S =tAA

a) Montrer que S est diagonalisable
b) Soit V un vecteur propres de S associé à la valeur L(ambda), montrer que tVtAAV = L tVV. En déduire que les valeurs propres de S sont positives.
c) Montrer que S^2 = k^4In puis que S= k^2 In

2) A=(aij) appartenant à Mn(R)
Calculer Tr(tAA) en fonction de aij. En déduire l'ensemble E0.

3) Soit k>0
a) Montrer que A appartient à Zk si et seulement si il existe B orthogonale et antisymétrique telle que A= kB
b) Déterminer Ek si k est impair.

Exercice au tableau:

* Définir le rayon de convergence d'une série entière ( remarque du professeur: " la première proposition doit être la bonne :complète et pas de cafouillage" )
Donner une autre propriété liée au rayon de convergence

*alpha positif, déterminer la limite lorsque x tend vers 0+ de
(exp(cosx)-exp(racine(1-x^2)))/x^alpha