Exercice majeur :
Soit n un entier supérieur ou égal à deux et A une matrice quelconque de Mn(R).
On considère f : Mn(R) ---> Mn(R)
X ---> X-2tr(X)A
1) Montrer que f est linéaire puis montrer que f(A) = 0 si et seulement si tr(A) = 1/2 ou A = 0.
2) On suppose ici que tr(A) ≠ 1/2.
a) Montrer que Ker(f) = {0}.
b) Montrer que f est bijective.
3) Soit ici tr(A) = 1/2 et H = {M ∈ Mn(R) / tr(M) = 0}.
a) Montrer que Mn(R) = H ⊕ Vect(A).
b) Montrer que f est la projection sur H parallèlement à Vect(A).
4) On suppose ici que tr(A) = 1.
Montrer que f est une symétrie orthogonale et déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.
5) On ne fait cette fois aucune hypothèse sur tr(A).
a) Trouver un polynôme annulateur de f.
b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que f soit diagonalisable.
Exercice mineur :
Soit Un = ln(1-(1/n²)).
Montrer que la série des Un converge puis calculer la somme de la série des Un.
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Sam 13 Juil - 9:15
