oral ensea

exercices de l'ensea:
1°/ trouver le développement en série entière de la fonction f:x->exp(x^2)*int(exp(-t^2),t=0...x)
2°/soit u appartenant a L(R^3) existe-t-il un plan de R^3 stable par u?

pour la seconde question j'ai voulu utlisé le fait que u était une application linéaire non nulle donc que son noyau était un hyperplan. L'examinateur m'a dit que je confondait puisque le noyau d'un forme linéaire non nulle injective était réduit à 0 qui n'était pas un hyperplan....
Quelqu'un pourrait me dire avec quoi j'ai confondu? je ne vois absolument pas.....

Merci pour votre envoi

Le résultat au programme auquel vous avez voulu faire référence est le suivant :

Le noyau d'une forme linéaire non nulle est un hyperplan.

Par ailleurs, l'examinateur a du vous faire remarquer que le noyau d'une application linéaire injective de R^3 dans R^3 est réduit à {0}, qui n'est pas un hyperplan de R^3...

Vous aviez confondu forme linéaire et application linéaire.

Et aux CCP ?

merci beaucoup pour votre réponse rapide.
Comment aurais-je du aborder le problème finalement? je n'avais aucune autre indication, c'est pourquoi j'étais parti sur cette piste la...
je poste mon sujet de ccp dans une partie ccp dès que possible.

Solution du 2e exercice de Gonzague :

Soit A la matrice de u dans la base canonique de R^3. On munit R^3 de sa structure euclidienne canonique.

1ère piste (qui ne fonctionnera pas, mais donne une idée pour la suite)
Le polynôme caractéristique de A est de degré 3, à coefficients réels, tend vers +oo en -oo et vers -oo en +oo donc il possède une racine réelle (TVI) ce qui donne une valeur propre (réelle) de A (donc de u). En notant x un vecteur propre (non nul !) associé, la droite Vect(x) est stable par u. Mais ceci ne donne toujours pas un plan stable....

2e piste (qui sera la bonne)
On va utiliser ce qui précède avec la matrice tA (où tA désigne la transposée de A). Notons v l'endomorphisme canoniquement associé à tA. Par le raisonnement précédent appliqué à v, il existe x un vecteur non nul qui soit vecteur propre de v. Alors on vérifie (2 lignes de calcul) que l'orthogonal de la droite Vect(x) est stable par u. Et l'orthogonal de Vect(x) est bien un plan.

Et voilà !

Remarque :
On peut généraliser ceci : si u appartient à L(R^n) avec n impair, alors u admet une droite et un hyperplan stable par u (très facile à partir des idées données)